Вариограмма и функции ковариации

Вариограмма и функции ковариации дают количественно характеризуют предположение, что объекты, расположенные близко друг к другу, больше похожи между собой, чем удаленные друг от друга на некоторое расстояние. Вариограмма и ковариация измеряют степень статистической корреляции как функцию расстояния.

Процесс моделирования вариограмм и функций ковариации подбирает кривую вариограммы или ковариации к эмпирическим данным. Целью является достижение наилучшего соответствия, а также применение в модели знаний о явлении. Затем модель будет использоваться при интерполяции.

При настройке модели необходимо исследовать направленную автокорреляцию в данных. Важными характеристиками модели являются Диапазон (Range), Порог (Sill) и Самородок (Nugget). Если в данных имеются погрешности измерений, используйте модель погрешности измерений. Для получения дополнительных сведений о настройке модели в соответствии с эмпирической вариограммой следуйте по ссылке .

Вариограмма

Вариограмма определяется как

  γ(si,sj) = ½ var(Z(si) - Z(sj)),

где var является дисперсией.

Если два местоположения, s_i и s_j, близки друг к другу в единицах измерения расстояния d(s_i, s_j), можно ожидать, что они похожи, так что разность их значений, Z(s_i) - Z(s_j), будет мала. По мере дальнейшего удаления _i и s_j друг от друга они становятся менее похожи, поэтому разность их значений, Z(s_i) - Z(s_j), станет больше. Это можно видеть на следующем рисунке, на котором показано, из чего состоит типичная вариограмма.

Обратите внимание, что дисперсия разности увеличивается с расстоянием, поэтому вариограмму можно рассматривать как функцию несходства. Имеются несколько терминов, которые часто ассоциируются с этой функцией, и они также используются в ArcGIS Geostatistical Analyst Extension. Высота, которую вариограмма достигает при ее выравнивании, называется порогом. Она часто состоит из двух частей: разрыв в начале координат, называемый эффектом самородка, и частичный порог; вместе они составляют порог. Эффект самородка может быть далее разделен на погрешность измерений и вариацию на микроуровне. Эффект самородка является просто суммой погрешности измерений и вариации на микроуровне, и поскольку какой-нибудь из этих компонентов может быть равен нулю, эффект самородка может целиком состоять из первого или второго компонента. Высота, на которой вариограмма выравнивается до порога, называется диапазоном.

Более подробно о вариограммах, диапазоне, пороге и самородке

Функция ковариации

Функция ковариации определяется как

C(si, sj) = cov(Z(si), Z(sj)),

где cov является ковариацией.

Ковариация является масштабируемой версией корреляции. Если два местоположения, s_i и s_j, близки друг к другу, можно ожидать, что они похожи, и их ковариация (корреляция) будет большой. По мере дальнейшего удаления s_i и s_j друг от друга они становятся менее похожи, и их ковариация стремится к нулю. Это можно видеть на следующем рисунке, на котором показано, из чего состоит типичная функция ковариации.

Обратите внимание, что функция ковариации уменьшается с расстоянием, поэтому ее можно рассматривать как функцию сходства.

Отношение между вариограммой и функцией ковариации

Между вариограммой и функцией ковариации имеется связь.

 γ(si, sj) = sill - C(si, sj),

Эту связь можно видеть на рисунках. Из-за этой эквивалентности можно сделать интерполяцию в ArcGIS Geostatistical Analyst Extension с использованием какой-либо из этих функций. (Все вариограммы в ArcGIS Geostatistical Analyst Extension имеют пороги).

Вариограммы и ковариации не могут быть только функцией. Чтобы интерполяции имели неотрицательные стандартные ошибки кригинга, в качестве вариограмм и ковариаций могут использоваться только некоторые функции. ArcGIS Geostatistical Analyst Extension предлагает несколько приемлемых вариантов, и для данных можно попробовать использовать разные варианты. Можно также иметь модели, составленные добавлением нескольких моделей — такое построение предоставляет допустимые модели, и в ArcGIS Geostatistical Analyst Extension можно добавить до четырех из них. Имеется несколько случаев, когда существуют вариограммы, но функции ковариации — нет. Например, имеется линейная вариограмма, но у нее нет порога, и нет соответствующей функции ковариации. В ArcGIS Geostatistical Analyst Extension используются модели только с порогами. Отсутствуют надежные правила выбора "наилучшей" модели вариограммы. Рассматривая эмпирическую вариограмму или функцию ковариации, можно выбрать наиболее подходящую модель. Можно также в качестве руководства использовать проверку и перекрестную проверку.