Оценка моделей взаимной ковариации для кокригинга

Когда необходимо использовать кокригинг для нескольких наборов данных, нужно разработать модели для взаимной ковариации. Поскольку имеется несколько наборов данных, следите за переменными с нижними индексами, где Z_k(s_j) задает случайную переменную для k^-го типа данных в местоположении s_i. Функция взаимной ковариации между k^-м и m^-м типами данных определяется следующим образом:

C km (si,sj) = cov(Zk(si), Zm(sj)).

Здесь имеется скрытый и часто сбивающий с толку аспект: функция C _km (s _i , s _j ) может быть асимметричной: C _km (s _i ,s_j ) ≠ C _mk (s_i , s _j ) (обратите внимание на переставленные нижние индексы). Чтобы узнать причину этого, рассмотрим следующий пример. Пусть имеются данные, организованные в одном измерении, вдоль линии, например:

Переменные типов 1 и 2 расположены вдоль линии с равными интервалами; утолщенная красная линия показывает максимальную взаимную ковариацию, зеленая линия — меньшую взаимную ковариацию, тонкая синяя линия — минимальную взаимную ковариацию, а нулевая взаимная ковариация не выделена. Согласно приведенному рисунку, Z₁(s_i ) и Z₂(s_j ) имеют максимальную взаимную ковариацию, когда s _i = s _j, и взаимная ковариация уменьшается по мере увеличения расстояния между s _i и s _j. В данном примере C _km (s_i , s_j) = C _mk (s _i , s _j). Однако, возможен «сдвиг» взаимной ковариации:

Обратите внимание, что C₁₂(s₂, s₃) теперь имеет минимальную взаимную ковариацию (показана тонкой синей линией), а C₂₁(s₂, s₃) — максимальную взаимную ковариацию (показана утолщенной красной линией), поэтому C _km (s _i , s_j) ≠ C _mk (s_i, s_j). Относительно Z₁ взаимная ковариация Z₂ сдвинута на -1 единицу. В двух измерениях ArcGIS Geostatistical Analyst Extension определяет любой сдвиг во взаимной ковариации между двумя наборами данных, если щёлкнуть на параметрах сдвига.

Эмпирические взаимные ковариации рассчитываются следующим образом:

Среднее [ (z₁(s_i) - ₁) (z₂(s_j) - ₂)]

где Z_k(s_i) — измеренное значение для k^-го набора данных в местоположении s_i,_k — среднее для k^-го набора данных и среднее берется для всех значений s_i и s_j, находящихся на определенном расстоянии и под определенным углом. Как и в случае вариограмм, ArcGIS Geostatistical Analyst Extension отображает и эмпирические, и подобранные модели для взаимной ковариации.

При выборе различных моделей взаимной ковариации, использовании составных моделей взаимной ковариации и выборе анизотропии теоретическая модель изменяется. Можно предварительно выбрать модель, проверив ее согласованность с эмпирическими значениями. Изменение размера лага и количества лагов, а также добавление сдвига изменяют эмпирическую поверхность взаимной ковариации, что приводит к соответствующим изменениям в теоретической модели. ArcGIS Geostatistical Analyst Extension использует значения по умолчанию, но можно пробовать различные значения и применять обычную и взаимную проверки для выбора лучшей модели.

Более подробно о ковариации для нескольких наборов данныхБолее подробно об изменении размера лагаБолее подробно о выборе моделиБолее подробно об анизотропии модели