趋势面法的工作原理

趋势面法工具可通过全局多项式插值法将由数学函数（多项式）定义的平滑表面与输入采样点进行拟合。趋势表面会逐渐变化，并捕捉数据中的粗尺度模式。

概念的背景

在概念上，趋势插值法类似于取一张纸将其插入各凸起点之间（凸起到一定高度）。下图展示的是从平缓山丘采集而来的一组高程采样点。使用的纸张为洋红色。

趋势平面的图示

平整的纸张无法完全覆盖包含山谷的地表。但如果将纸张略微弯曲，覆盖效果将会好的多。为数学公式添加一个项也可以达到类似的效果，即平面的弯曲。平面（纸张无弯曲）是一个一阶多项式（线性）。二阶多项式（二次）允许一次弯曲，三阶多项式（三次）允许两次弯曲，依此类推。使用此工具最多允许 12 次弯曲（十二阶多项式）。下图在概念上展示出一个与山谷拟合的二阶多项式。

趋势曲面的图示

纸张几乎无法穿过各实际测量点，从而使趋势插值法成为不精确的插值器。有些测量点位于纸张上方，而其他点则位于纸张下方。但是，如果将测量点高出纸张的距离相加，并将测量点低于纸张的距离也相加，得到的这两个和值应该相近。以洋红色表示的表面是通过最小二乘回归拟合得到的结果。该生成表面将使凸起点与纸张之间的平方差最小化。

均方根 (RMS) 误差越小，插值表面就越能代表各输入点。一阶多项式到三阶多项式最为常见。利用趋势面插值法可创建平滑表面。

何时使用趋势插值法

使用趋势插值法可获得表示感兴趣区域表面渐进趋势的平滑表面。此种插值法适用于以下几种情况

• 感兴趣区域的表面在各位置间出现渐变时，可将该表面与采样点拟合，例如，工业区的污染情况。
• 检查或排除长期趋势或全局趋势的影响。此类情况下，采用的方法通常为趋势面分析。

在趋势插值法中，将通过可描述物理过程的低阶多项式创建渐变表面，例如，污染情况和风向。但使用的多项式越复杂，为其赋予物理意义就越困难。此外，计算得出的表面对异常值（极高值和极低值）非常敏感，尤其是在表面的边缘处。

趋势插值法的类型

趋势插值法共有两种基本类型：线性和逻辑型。

线性趋势

线性趋势面插值法用于创建浮点型栅格。它将通过多项式回归将最小二乘表面与各输入点进行拟合。使用线性选项可控制用于拟合表面的多项式阶数。要理解趋势面法的线性选项，请考虑一阶多项式。一阶多项式趋势面插值法将对平面与一组输入点进行最小二乘拟合。

利用趋势面插值法可创建平滑表面。生成的表面几乎不能穿过各原始数据点，因为对整个表面执行的是最佳拟合。如果所用多项式 {阶数} 高于一阶，插值器所生成栅格的最大值和最小值可能会超过输入要素数据输入文件中的最小值和最大值。

逻辑型趋势

可生成趋势面的逻辑型选项适用于预测空间中给定的一组位置 (x,y) 处某种现象存在与否（以概率的形式）。z 值是仅会产生两种可能结果的分类随机变量，例如，濒临灭绝的物种存在与否。生成的两种 z 值可分别编码为一和零。逻辑型选项可根据值为零和一的各像元值创建连续的概率格网。

可使用最大可能性估计直接计算出非线性概率表面模型，而无需先将该模型转换成线性形式。

输出 RMS 文件

通过对比输入数据库中各位置与插值栅格表面中相同位置的值，RMS 误差文件可生成插值的均方根误差。

RMS 误差值还可确定插值法 {阶数} 参数的最佳使用值，方法是不断更改阶数值直到 RMS 误差降为最低。另外，还会报告卡方 (Chi-square) 值。

示例

将阶数设置为 3 时，运行“趋势面法”工具输出的 RMS 文件示例：

coef #          coef
------ ----------------
     0 -1192066.7888371
     1 -1.78479492586755
     2 -0.195982103615487
     3 -8.87072249743903e-1
     4 -2.0538267625596e-1
     5 -3.85610088343239e-1
     6 -1.46420255709888e-2
     7 -5.31539027745154e-2
     8 -2.59261094879031e-3
     9 9.71651459136166e-4
------ ----------------
RMS Error  = 296.957857221845
Chi-Square  = 17019506.0103975

该三阶趋势面的输出栅格中任意位置上的预测值可通过统计一系列方程式的结果值来确定。在该方程式中，x = 位置经度，y = 位置纬度，c_n 项是上表中的系数值。该三阶插值的方程式为：

Prediction(x,y) = c0 + 

                  x·c1 + y·c2 + 

                  x2·c3 + x·y·c4 + y2·c5 +

                  x3·c6 + x2·y·c7 + x·y2·c8 + y3·c9

实际上，系数为 0 的项通常为截距。在上述方程式中，我们先遍历一阶项，从 x 最大值开始直到没有 x 为止。接着我们遍历二阶项中 x 的值，然后按同样方法遍历三阶项。

注:

随着阶数的增加，这些方程式将遵循相似的规律。例如，如果已指定四阶，则将在 RMS 表中多指定五个值（系数 10、11、12 和 13），相应增加等数量的方程式来对其进行利用。