半变异函数与协方差函数

半变异函数和协方差函数将邻近事物比远处事物更相似这一假设加以量化。半变异函数和协方差都将统计相关性的强度作为距离函数来测量。

对半变异函数和协方差函数建模的过程将半变异函数或协方差曲线与经验数据拟合。目标是达到最佳拟合，并将对现象的认知纳入模型。之后模型便可用于预测。

在拟合模型时，浏览数据中的方向自相关。基台、变程和块金是模型的重要特征。如果数据中有测量误差，请使用测量值误差模型。跟踪这一链接来了解如何将模型与经验半变异函数拟合。

半变异函数

半变异函数定义为

  γ(si,sj) = ½ var(Z(si) - Z(sj)),

其中 var 是方差。

如果两个位置 s_i 和 s_j，在 d(s_i, s_j) 的距离测量上彼此相近，那么您会希望这两个位置相似，以便缩小两个位置的差值 Z(s_i) - Z(s_j) 的大小。当 s_i 和 s_j 距离逐渐增大时，它们变得越来越不相似，它们的值 Z(s_i) - Z(s_j) 的差异也会增大。在下图中可以看到这一情况，其中显示了典型半变异函数的解析图。

请注意，差值的方差会随距离的增大而增加，因此可以将半变异函数视为相异度函数。与这一函数经常关联的术语也可用在 Geostatistical Analyst 中。半变异函数在其呈平稳状态时所达到的高度称为基台。它通常由两部分组成：原点处不连续（称为块金效应）和偏基台；二者一起形成基台。块金效应可以细分为测量误差和微刻度变化。块金效应就是测量误差和微尺度变化的和，由于任一组件都可为零，因此块金效应可以完全由一个组件或另一个组件形成。变程是半变异函数达到平稳基台处的距离。

了解有关半变异函数、变程、基台和块金的详细信息

协方差函数

协方差函数定义为

C(si, sj) = cov(Z(si), Z(sj)),

其中 cov 是协方差。

协方差是相关性的缩放版。因此当两个位置，s_i 和 s_j 彼此相近时，您会希望这两个位置相似，而他们的协方差（相关性）会变大。当 s_i 和 s_j 距离逐渐增大时，它们变得越来越不相似，并且它们的协方差会变为零。在下图中可以看到这一情况，下图显示典型协方差函数的解析图。

请注意，协方差函数随距离的增大而减小，因此可将其视为一种相似度函数。

半变异函数和协方差函数之间的关系

在半变异函数和协方差函数之间存在以下关系：

 γ(si, sj) = sill - C(si, sj),

从图中可看出该关系。由于这一相等关系，您可以在 Geostatistical Analyst 中使用两种函数中的任一种来执行预测。（Geostatistical Analyst 中所有半变异函数都拥有基台。）

半变异函数和协方差不是任意函数皆可。为使预测具有非负的克里金标准误差，只有部分函数可以用作半变异函数和协方差。Geostatistical Analyst 提供了多种可接受的选项，您可以为数据尝试不同的选项。您也可以通过同时添加多个模型的方式获得模型 - 此构造提供有效的模型，可以在 Geostatistical Analyst 中添加其中的最多四个模型。有一些当半变异函数存在时，协方差函数却不存在的实例。例如，有一个线性半变异函数，但它没有基台，并且没有相对应的协方差函数。Geostatistical Analyst 中仅使用带有基台的模型。在选择“最佳”半变异函数模型时，没有必须遵守的规则。您可以查看经验半变异函数或协方差函数并选择看起来适合的模型。你也可以使用验证和交叉验证作为指南。