反距离权重插值的工作原理

反距离权重 (IDW) 插值可以明确地验证这样一种假设：彼此距离较近的事物要比彼此距离较远的事物更相似。当为任何未测量的位置预测值时，反距离权重法会采用预测位置周围的测量值。与距离预测位置较远的测量值相比，距离预测位置最近的测量值对预测值的影响更大。反距离权重法假定每个测量点都有一种局部影响，而这种影响会随着距离的增大而减小。由于这种方法为距离预测位置最近的点分配的权重较大，而权重却作为距离的函数而减小，因此称之为反距离权重。在以下示例中对分配给数据点的权重进行了说明：

“权重”窗口包含分配给各数据点的权重的列表，其中各数据点用于生成通过十字光标进行标记的位置处的预测值。

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幂函数

如上所述，权重与反距离（数据点与预测位置之间）的 p 次幂成正比。因此，随着距离的增加，权重将迅速降低。权重下降的速度取决于值 p。如果 p = 0，则表示距离没有减小，因为每个权重 λ_i 均相同，预测值将是搜索邻域内的所有数据值的平均值。随着 p 值的增大，较远数据点的权重将迅速减小。如果 p 值极大，则仅最邻近的数据点会对预测产生影响。

Geostatistical Analyst 使用大于或等于 1 的幂值。当 p = 2 时，此方法称为反距离平方权重插值。将 P = 2 用作默认值。尽管没有理论依据证明该值优于其他值，但应通过预览输出和检验交叉验证统计信息来调查更改 p 值时产生的影响。

可通过将均方根预测误差 (RMSPE) 降至最小值来确定最佳幂值。RMSPE 是在交叉验证过程中计算出的统计数据。RMSPE 用于对预测表面的误差进行量化。Geostatistical Analyst 会对若干个不同的幂值进行评估，从而确定出可以生成最小 RMSPE 的幂值。下图说明了 Geostatistical Analyst 是如何计算出最佳幂值的。针对几个不同的幂值绘制 RMSPE（使用相同的数据集）。根据点拟合一条曲线（局部二次多项式插值法），然后从该曲线上将提供最小 RMSPE 的幂确定为最佳幂。

搜索邻域

由于彼此距离较近的事物比彼此距离较远的事物更加相似，因此，随着位置之间的距离增大，测量值与预测位置的值的关系将变得越来越不密切。为缩短计算时间，可以将几乎不会对预测产生影响的较远的数据点排除在外。因此，通过指定搜索邻域来限制测量值的数量是一种常用方法。邻域的形状限制了要在预测中使用的测量值的搜索距离和搜索位置。其他邻域参数限制了将在该形状中使用的位置。在下图中，在为没有测量值的位置（黄色点）预测值时，将使用五个测量点（相邻点）。

输入数据以及尝试创建的表面会影响邻域的形状。如果数据中不存在方向影响，则需要考虑在各个方向都均等的数据点。为此，将搜索邻域定义为圆。但是，如果数据中存在方向影响，如盛行风，则可能需要对此影响进行调整，方法是：将搜索邻域的形状更改为主轴与风向平行的椭圆。此方向影响的调整是合理的，因为众所周知，对比于与风向垂直但距离预测位置较近的位置，与预测位置风向相逆的位置在远距离位置处会更加相似。

指定完邻域形状之后，便可限制应在该形状中使用哪些数据位置。可以定义要使用的最大位置数和最小位置数，并可以将邻域划分成若干分区。如果将邻域划分成若干分区，则会将最大值和最小值限制应用到各个分区。以下显示了可以使用和显示的几个不同分区。

在数据视图中高亮显示的点显示了在椭圆中心预测某个位置（十字光标的位置）时将使用的位置和权重。搜索邻域被限制在椭圆的内部。在如下示例中，将为南部分区内的一个点（红色）和西部分区内的两个点（红色）分配大于 10% 的权重。在南部分区内，将为一个点（褐色）分配介于 5% 和 10% 之间的权重。将为搜索邻域中的其他点分配较小的权重。

何时使用反距离权重法

使用反距离权重法计算出的表面取决于幂值 (p) 的选择和搜索邻域策略。反距离权重法是一个精确插值器，其中插值表面内的最大值和最小值（参见上图）只能出现在采样点处。输出表面对拓扑和异常值的出现十分敏感。反距离权重法假定正在被建模的现象会受到局部变化的影响，而局部变化可以通过定义合适的搜索邻域进行捕获（已建模）。由于反距离权重法不提供预测标准误差，因此证明使用此模型是否合理可能有点困难。