Векторная трансформация. Преобразования. Обзор

При трансформации данные изменяются или сдвигаются внутри одной системы координат. Трансформация часто используется для преобразования данных из единиц дигитайзера или сканера в реальные географические координаты. Также вы можете применить трансформацию для сдвига данных внутри системы координат, например, преобразования их из футов в метры. Если надо пересчитать данные из одной системы координат в другую, например из географической в UTM, их надо перепроецировать.

Методы трансформации основаны на сравнении координат точек источника и целевых (опорных)точек, которые объединяются в специальные графические элементы - связи смещения. Для построения формул трансформации используются исходные точки и точки цели связей смещения. Вы можете создавать эти связи интерактивно, указывая известные исходное и целевое положения, или вы можете загрузить текстовый файл связей или файл контрольных точек.

При создании связей для трансформации вы пытаетесь сопоставить одно и то же местоположение исходного места и места назначения. Например, у вас может быть слой дорог, который надо попытаться трансформировать и сдвинуть в то место, где эти дороги находятся на аэрофотоснимке. При создании связи смещения исходную точку можно поместить на пересечении дорог в слое, а точку назначения - на этом же пересечении там, где оно видно на снимке. Связи не обязательно помещать на начальных или конечных точках пространственных объектов. Часто расстояние между исходным и целевым местоположениями бывает достаточно большим.

По умолчанию ArcMap поддерживает три типа преобразований: аффинное, проективное и преобразование подобия.

Аффинное преобразование

При аффинном преобразовании (Affine transformation) можно дифференцированно масштабировать, задавать скос, поворачивать, переносить данные. На рисунке ниже показаны все четыре возможных варианта трансформаций.

Функция афинного преобразования выглядит следующим образом:

x’ = Ax + By + C
y’ = Dx + Ey + F 

где x и y - координаты входного слоя, а x’ и y’ - трансформированные координаты. A, B, C, D, E, и F определяются сопоставлением положением исходных и целевых опорных точек. Это преобразование масштабирует, выполняет скос, поворот и сдвиг координат для вершин слоя. Для этого метода требуется, как минимум, три связи смещения. В большинстве случаев рекомендуется использовать именно этот метод.

Аффинное преобразование требует задания по крайней мере трех связей смещения.

Преобразование подобия

При преобразовании подобия (Similarity transformation) данные масштабируются, поворачиваются и сдвигаются. Здесь масштабирование по осям не будет независимым, и будет отсутствовать скос. Кроме того, сохраняется пропорциональное удлинение трансформируемых объектов.

Функция преобразования подобия выглядит следующим образом:

x’ = Ax + By + Cy’ = -Bx + Ay + F

, где

A = s * cos t
B = s * sin t
C = translation in x direction
F = translation in y direction 

и

s = scale change (same in x and y directions)
t = rotation angle, measured counterclockwise from the x-axis

Преобразование подобия требует задания как минимум двух связей смещения. Однако, для вычисления среднеквадратической ошибки (RMS) требуются три и более связи смещения.

Проективное преобразование

Проективное преобразование (Projective transformation) основано на более сложной формуле и требует по крайней мере четырех связей смещения.

x’ = (Ax + By + C) / (Gx + Hy + 1)
y’ = (Dx + Ey + F) / (Gx + Hy + 1) 

Этот метод используется для трансформации данных, полученных непосредственно по аэрофотоснимку. Для дополнительной информации обратитесь к одному из текстов с описанием фотограмметрических аспектов этого метода в списке литературы о векторной трансформации.

Понятия невязки и среднеквадратической погрешности

Параметры преобразования получаются исходя из наилучшего согласования исходных и целевых контрольных точек. Если вы используете параметры преобразования для трансформации реальных исходных контрольных точек, полученные результирующие местоположения не будут совпадать с действительным положением выходных контрольных точек. Это явление известно как невязка, которая является мерой соответствия реальных и рассчитанных положений для выходных контрольных точек. Эта ошибка генерируется для каждой связи смещения.

Среднеквадратическая ошибка вычисляется для каждого выполняемого преобразования. Она характеризует, насколько хорошо оно выполнено. Следующий пример иллюстрирует относительное положение четырех целевых контрольных точек и трансформированных исходных контрольных точек.

Ср. кв. ошибка (RMS error) является мерой расхождения между целевыми контрольными точками и полученными в результате трансформации исходных контрольных точек местоположениями.

Преобразование считается исходя из метода наименьших квадратов, поэтому вы можете задать больше минимального числа связей. Для выполнения преобразования, которое могло бы привести к ср.кв. ошибке, требуется минимум три связи смещения.

В целом, чем больше связей смещения вы создадите, тем более точным будет трансформация. Проверить точность можно, посмотрев значения среднеквадратических ошибок в таблице связей.

Не интерактивное трансформирование

Иногда приходится трансформировать данные, не имея готовых наборов данных в месте назначения. В этом случае невозможно интерактивно установить место назначения связи смещения. Например, вы могли оцифровать некоторые данные и хотите трансформировать их из системы координат планшета в реальные координаты. В таком случае вы, возможно, знаете значения координат для некоторых местоположений, таких как перекрестки дорог или положения столбов и т.п.

В этом случае вы создаёте связи смещения с начальными точками, установленными на этих объектах с известными координатами, и временными конечными точками, расположенными где угодно. Вы можете затем использовать эту таблицу связей для редактирования координат цели для связей смещения.