Об уравнивании набора данных участков по методу наименьших квадратов
Эта тема относится только к ArcGIS for Desktop Standard и ArcGIS for Desktop Advanced.
Уравнивание набора данных участков по методу наименьших квадратов запускается для улучшения позиционной точности углов участков. Хотя измерения границ участков точным образом определяют форму участков, а опорные точки полевой съемки определяют точное пространственное положение участков.
Понимание процесса уравнивания по методу наименьших квадратов
Одиночные измерения — направления (bearing) и расстояния (distance) из точек наблюдений на местности используются для расчета координат для новых точек местности. Известно, что расчеты на основе одиночных измерений являются рискованными, так как не существует способа определения точности измерений. Второе наблюдение одной и той же точки может подтвердить или проверить координаты, полученные в ходе первого измерения. В общем случае, чем больше измерений фиксированных точек существует в наборе данных участков, тем более точно возможно установить положение этой точки. Дополнительные измерения одних и тех же объектов называются избыточными измерениями (redundant measurements).
Все измерения содержат некоторую погрешность. Следовательно, каждое измерение при расчетах приведет к получению различных координат одной и той же точки полевой съемки. Для практического применения требуется наличие только одного положения для каждой точки съемки. Одна наилучшая оценка значений координат может быть получена путем расчета взвешенного среднего значения на основе избыточных измерений, когда каждое измерение будет иметь вес, основанный на точности измерений (measurement accuracy).
 |
Рассчет взвешенного стреднего положения |
Несмотря на то, что возможен расчет взвешенного среднего для положения одной точки, такой подход не является эффективным при расчете координат для множества точек в наборе данных участков. Более эффективным способом является учет множества возможных ходов между точками. Алгоритм уравнивания по методу наименьших квадратов обеспечивает наиболее эффективный инструмент для обработки измерений точек в сети.
 |
Множество точек в сети участков |
Уравнивание по методу наименьших квадратов - это математическая процедура, которая основана на определении наиболее вероятного положения точек в сети, определенного множественными измерениями сети. Уравнивание по методу наименьших квадратов определяет наилучшее решение, находя такие положения точек, при котором сумма квадратов линейных невязок будет минимальной. Невязка - это значение, на которое следует исправить значения координат, чтобы они совпали с наилучшим решением уравнивания сети.
Об уравнивании набора данных участков по методу наименьших квадратов
Уравнивание набора данных участков по методу наименьших квадратов запускается для улучшения позиционной точности углов участков. Хотя измерения границ участков точным образом определяют форму участков, а опорные точки полевой съемки определяют точное пространственное положение участков.
Уравнивание по методу наименьших квадратов использует измерения линий участков совместно с опорными точками, чтобы оценить статистически наиболее вероятные положения для каждой точки участков в сети. Такое описание может быть более просто описано как использование всех точек в сети для построения единого теодолитного хода между двумя опорными точками сети. Точки в наборе данных участков с именами P1 и P5 должны соответствовать положению опорных точек CP1 и CP2 соответственно. Уравнивание по методу наименьших квадратов уменьшает погрешность положения между точками P1 и CP1, а также P5 и CP2 с помощью оставшихся точек P2, P3, и P4 таким образом, чтобы точки P1 и P5 совпали с опорными точками. Координаты точек P2, P3, и P4 будут уравнены в соответствии с наилучшим решением и линии будут рассчитаны повторно на основе уравненных положений точек. В наборе данных участков точность линий участков играет роль системы весов в уравнивании по методу наименьших квадратов. Линии с большей точностью будут иметь больший вес, чем линии с более низкой точностью. Чем больше точность измерений, тем больший вес эти измерения имеют при уравнивании. На рисунке ниже показана линия между точками P2 и P3, которая имеет высокую точность, а значит и большой вес. При уравнивании по методу наименьших квадратов линия P2–P3 получает относительно меньшие значения поправок, чем остальные линии в теодолитном ходе.
 |
Уравнивание по методу наименьших квадратов с опорными точками |
Невязки между исходными линиями и рассчитанными линиями будут определены, чтобы показать насколько хорошо линии участков соотносятся между собой и с опорными точками. Большие значения невязок показывают, что существуют проблемы с линиями участков или с окружающими линиями, так как исходные значения требуют значительных изменений для соответствия наилучшему решению сети.
Процесс уравнивания набора данных участков по методу наименьших квадратов
На первом этапе уравнивания по методу наименьших квадратов, определяются параметры трансформации для точек набора данных участков, которые связаны с опорными точками. Если невязки трансформации укладываются в допустимые пределы (при пересчете координат из одной системы в другую), параметры трансформации будут применены к всем координатам набора данных участков, чтобы преобразовать их в систему координат, определенную опорными точками. При запуске Проверка взаимного положения для опорных точек отображаются эти остатки трансформации.
После трансформации значения направлений и расстояний для каждой линии участка будут сопоставлены с направлениями и расстояниями, рассчитанными на основе геометрии объектов в трансформированной системе координат (системе координат опорных точек). Эта операция выполняется путем вычисления различий между направлениями и расстояниями исходных и вычисленных (трансформированных) значений координат для направлений и расстояний. Любые линии участков, для которых разница расстояний и направлений превышают допустимые значения, которые указаны в диалоговом окне Уравнивание координат (Adjust Coordinates) будут представлены в отчете уравнивания по методу наименьших квадратов. После того, как координаты в наборе данных участков будут трансформированы в систему координат опорных точек, движок уравнивания усреднит (рассчитает средние) значения координат и определит наиболее оптимальные, удовлетворяющие решению сети, координаты для точек в сети. Уравнивание использует систему весов для измерений, которая позволяет применять меньшие поправки к более точным участкам (имеющим больший вес) и большие значения поправок для менее точных участков (имеющим меньший вес).
Примечание:В процессе уравнивания по методу наименьших квадратов определяются наиболее точные положения и более точные представления геометрии линий для каждой линии участков. Исходные значения измерений линий (атрибуты) не будут изменяться в процессе уравнивания. Геометрия и пространственное представление - форма линий участков - будут изменены в соответствии с вновь уравненными значениями координат.
Избыточные измерения
Уравнивание по методу наименьших квадратов позволяет получать наиболее точные результаты, когда в сети присутствуют избыточные (redundant) измерения. Избыточные измерения получаются, когда несколько измерений были выполнены для одних и тех же объектов. Повторные измерения позволяют уточнять измерения в сети. Набор данных участков является сеть с повторными измерениями.
На рисунке ниже показан одиночный участок, который имеет 4 линии и 4 точки. Угловая точка под номером 2 определяется с помощью двух линий (измерений).
 |
Одиночный участок |
В наборе данных участков угловая точка под номером 2 этого же участка будет определяться 8-ю линиями (измерениями).
 |
Избыточные измерения в наборе данных участков |
Когда избыточные измерения используются для определения положения точек (8 линий для точки 2), становится проще определить линии, для которых координаты точки значительно отличаются от координат, определенных с помощью других линий. Таким образом, чем больше линий имеют общую точку, тем более точно можно определить положение этой точки и установить линии с ошибочными измерениями. Уравнивание по методу наименьших квадратов использует избыточные измерения для идентификации линий, которые не соотносятся с решением уравнивания. Избыточные измерения в наборе данных участков получаются в результате существования множества общих точек и линий.
Обработка базисного направления
В наборе данных участков направления для линий каждого участка должны проходить по азимуту для участка. Другими словами, каждый участок может быть повернут и отмасштабирован независимо от других, чтобы быть подогнанным к датуму и проекции, используемым в наборе данных участков. Если внутренние углы используются для создания линий теодолитного хода в участке, углы будут храниться в виде направлений, которые будут отсчитаны для линий от определенного азимута. Для уравнивания необходимы значения направлений, а не значения углов участка, измеренных между линиями участка.
Когда участок соединяется с набором данных участков, его оригинальные измерения сначала будут использованы для расчета координат углов участка в местной системе координат. Первая точка участка будет иметь значения координат 0.0 восточного положения и 0.0 северного положения, и будет являться для расчета положений всех остальных точек. Уравнивание Баудича (Bowditch adjustment) будет использовано для устранения линейной невязки до расчета координат в местной системе координат.
В процессе соединения участка с набором данных участков несвязанные угловые точки участков будут сопоставлены с соответствующими им точками в наборе данных. Параметры трансформации будут рассчитаны для перевода координат точек участка в систему координат набора данных участков. Будет использоваться трансформация Гельмерта (Helmert transformation), в результате которой будут получены значения смещения по x, смещения по y, угол поворота участка и масштабный коэффициент. Если более двух точек были связаны с точками фабрики, то будет выполнено уравнивание по методу наименьших квадратов, чтобы определить параметры трансформации. Когда точки связаны, они трансформируются в сеть набора данных участков и для них рассчитываются значения невязок положения (dx) и (dy), которые возникли при трансформации. Эта информация будет показана в диалоговом окне связывания точек. Эти значения невязок являются индикаторами того, насколько хорошо соотносятся положения точек с набором данных участков.
После того, как участок соединен, угол поворота и масштабный коэффициент (полученные в результате трансформации) будут записаны в атрибуты участка и будут использованы в уравнивании по методу наименьших квадратов для расчета направлений. В уравнивании по методу наименьших квадратов направления участка будут обрабатываться как геодезический набор направлений. Будет использовано предположение о том, что углы внутри участка измерены верно, но весь участок немного повернут (на базисное направление - basis of bearing). Поэтому уравнивание по методу наименьших квадратов будет определять поправки для координат x,y для каждой точки и поправки поворота для каждого участка.
Уравнивание выдаст отчет об угле поворота, масштабный коэффициент, смещение по x (dx), и смещение по y (dy) для каждого уравниваемого участка. В плане раздела земельных участков, углы поворота и масштабные коэффициенты для участков будут иметь близкие значения, и значения смещений по x (dx) и смещений по y (dy) будут являться индикатором изменения формы участка. Если уравнивание будет запущено снова, то угол поворота и масштаб участка будут пересчитаны.