Как работают радиальные базисные функции

Методы РБФ представляют собой набор методов жесткой интерполяции; это означает, что поверхность должна проходить через каждое измеренное опорное значение. Существует пять различных базисных функций:

• Плоский сплайн (Thin-plate spline)
• Сплайн с натяжением (Spline with tension)
• Полностью регуляризованный сплайн (Completely regularized spline)
• Функция мультиквадриков (Multiquadric function)
• Функция Обратные мультиквадрики (Inverse multiquadric function)

Каждая базисная функция имеет различную форму и позволяет получать разные интерполированные поверхности. Методы РБФ — это специальный случай сплайнов.

Концептуально, радиальные базисные функции напоминают размещение резиновой мембраны на измеренные опорные точки и одновременно уменьшение общей кривизны поверхности. Выбор базисной функции определяет то, как резиновая мембрана будет расположена между значениями. На следующей диаграмме концептуально показано нанесение поверхности радиальной базисной функции на серию опорных точек высот. Обратите внимание, что поверхность в поперечном сечении проходит через значения данных.

Являясь жесткими интерполяторами, методы РБФ отличаются от интерполяторов по методу глобального и локальных полиномов, которые являются нежесткими интерполяторами и не требуют обязательного прохождения поверхности через измеренные точки. Функция обратных взвешенных расстояний (также жесткий интерполятор), в отличие от радиальных базисных функций, никогда не интерполирует значения выше максимального или ниже минимального измеренного значения. Это можно увидеть на поперечном сечении опорных данных.

Тем не менее, с помощью радиальных базисных функций можно прогнозировать значения выше максимальных и ниже минимальных измеренных значений, как показано на поперечном сечении.

Оптимальные параметры определяются с помощью перекрестной проверки, аналогично шагам, рассмотренным для функции обратных взвешенных расстояний и интерполяции по методу локальных полиномов.

Использование радиальных базисных функций

Радиальные базисные функции используют для создания сглаженных поверхностей из большого количества расчетных данных. С помощью функции можно успешно создавать слабо изменяющиеся поверхности, например поверхности высот.

Однако эти методы не подходят при значительных изменениях значений поверхности в пределах коротких расстояний и/или если вы подозреваете, что опорные данные могут быть ошибочными или неопределенными.

Основные концепции радиальных базисных функций

В модуле ArcGIS Geostatistical Analyst Extension радиальные базисные функции формируются над каждым местоположением данных. Радиальная базисная функция — эта функция, которая изменяется при удалении от местоположения.

Например, предположим, что радиальная базисная функция — это расстояние от каждого местоположения, следовательно, она формирует перевернутый конус над каждым местоположением. Если сделать поперечное сечение плоскости x, z для y = 5, можно увидеть срез каждой радиальной базисной функции. Теперь, предположим, необходимо спрогнозировать значение для y = 5 и x = 7. Значение каждой радиальной базисной функции в интерполируемом местоположении можно взять из вышеприведенного рисунка. Значение определяется значениями Φ₁, Φ₂, и Φ₃, которые просто зависят от расстояния от каждого местоположения данных. Предиктор формируется с помощью среднего взвешенного w₁Φ₁ + w₂Φ₂ + w₃Φ₃ + …

Как же определить веса? До сих пор вы не использовали значения данных. Веса w₁, w₂, w₃ и т. д. можно определить, установив обязательное требование: при перемещении предиктора в местоположение с измеренным значением, значение должно быть проинтерполировано точно. Так мы получим N уравнений с N неизвестными, которые можно решить единственным образом. Таким образом, поверхность проходит через значения данных, что обеспечивает выполнение жесткой интерполяции.

Радиальная базисная функция в этом примере является специальным случаем радиальной базисной функции мультквадриков. Модуль ArcGIS Geostatistical Analyst Extension также позволяет использовать другие радиальные базисные функции, например, функции полностью регуляризованных сплайнов, плоских сплайнов, сплайнов с натяжением и функций обратных мультиквадриков. Иногда разница между ними не велика. Можно использовать только одну функцию или несколько функций одновременно, а затем выполнить перекрестную проверку и выбрать одну из них. Каждая радиальная базисная функция содержит параметр, управляющий "сглаженностью" поверхности.

Для всех методов, кроме обратных мультиквадриков, чем выше значение параметра, тем более сглаженная карта; обратное верно для метода обратных мультиквадриков.