Как работает интерполяция по методу глобального полинома

Интерполяция по методу глобального полинома подбирает к входным опорным точкам сглаженную поверхность, определяемую математической функцией (полиномом). Поверхность глобального полинома постепенно изменяется и характеризует грубую структуру в данных.

Концептуально, интерполяция по методу глобального полинома схожа с установкой листа бумаги между поднятыми точками (поднятыми до высоты значения). Это показано на рисунке ниже для набора опорных точек высот, взятых на холме с небольшим уклоном (лист бумаги красноватого цвета).

Плоский лист бумаги не будет точно характеризовать ландшафт, содержащий долину. Однако если можно согнуть лист бумаги один раз, получится гораздо лучшее соответствие. Добавление члена в математическую формулу дает аналогичный результат, сгиб плоскости. Плоская поверхность (нет сгиба на листе бумаги) — это полином первого порядка (линейный). При допущении одного изгиба получается полином второго порядка (квадратичный), двух изгибов — третьего порядка (кубический) и так далее. В программе ArcGIS Geostatistical Analyst Extension допускается 10 изгибов. На следующем рисунке концептуально показан полином второго порядка, соответствующий долине.

Редко лист бумаги проходит через фактически измеренные точки, таким образом делая интерполяцию по методу глобального полинома нежестким методом интерполяции. Некоторые точки будут расположены выше листа бумаги, другие — ниже. Однако, если вы добавите высоту до высоты точек выше листа бумаги, а также добавите высоту для точек ниже листа бумаги, эти две суммы должны быть равны. Поверхность, данная пурпурным цветом, получается путем подбора подходящего уравнения регрессии по методу наименьших квадратов. Результирующая поверхность сводит к минимуму различия между квадратами поднятых значений и листом бумаги.

Случаи использования интерполяции по методу глобального полинома

В результате интерполяции по методу глобального полинома формируется сглаженная поверхность, которая представляет постепенные тренды поверхности в исследуемой области.

Интерполяция по методу глобального полинома используется в следующих случаях.

• Подбора поверхности к опорным точкам, если поверхность варьируется постепенно от участка к участку исследуемой области, например, загрязнение окружающей среды в промышленной зоне.
• Исследования и/или удаления эффектов трендов с большим диапазоном или глобальных трендов. При таких обстоятельствах, метод часто называют анализ поверхности тренда.

Интерполяция по методу глобального полинома создает медленно изменяющуюся поверхность с помощью полиномов низкого порядка, которые, возможно, описывают некий физический процесс, например, загрязнение и направление ветра. Однако, следует отметить, что чем более сложный полином, тем труднее приписать ему физический смысл. Кроме того, вычисленные поверхности весьма чувствительны к выпадающим значениям (чрезвычайно высоким и низким значениям), особенно на ребрах.