トレンド（Trend）の仕組み

[トレンド（Trend）] ツールは、グローバルな多項式内挿を使用して、数学関数（多項式）で指定されたスムーズなサーフェスにより入力のサンプル ポイントを近似します。トレンド サーフェスは徐々に変化し、大まかにデータのパターンを捕捉します。

概念的背景

概念的には、トレンド内挿法は、（値の高さに）突出した複数のポイント間に 1 枚の紙をかぶせる処理と考えることができます。以下の図に、緩やかな傾斜を持つ丘で収集した標高のサンプル ポイントのセットについてこれを示します。紙はマゼンタで表しています。

平坦なトレンド サーフェスの図

平坦な 1 枚の紙では、谷のある地形を正確に表すことができません。ただし、紙を 1 回折り曲げると、より地形に沿わせることができます。数学式に項を追加すると、平面における曲げのような類似の結果が得られます。平らな平面（紙を折り曲げていない状態）は一次多項式（線形）です。1 回折り曲げると二次多項式、2 回折り曲げると三次多項式（以下、同様）になります。このツールでは、12 回まで曲げることができます。以下の図に、二次多項式による谷の近似を概念的に示します。

曲面のトレンド サーフェスの図

紙が実際の計測ポイントを通ることはめったになく、トレンド内挿法は不正確な内挿法です。紙の上にあるポイントもあれば、紙の下にあるポイントもあります。ただし、紙の上にある各ポイントの紙からの距離の合計と、紙の下にある各ポイントの紙からの距離の合計は、近い値になります。マゼンタで示すサーフェスは、最小二乗回帰を使用して得られたものです。得られたサーフェスでは、標高の値と紙との差の二乗が最小です。

二乗平均平方根（RMS）誤差が小さくなるほど、内挿したサーフェスが入力ポイントをより近く表します。一般的な多項式の次数は 1 ～ 3 です。トレンドのサーフェス内挿法はスムーズなサーフェスを作成します。

トレンド内挿法を使用する場合

トレンド内挿法の結果はスムーズなサーフェスで、対象地域に広がるサーフェスで緩やかな傾向を示します。この種類の内挿法は次の場合に使用できます。

• 対象地域に広がる地域間でサーフェスが徐々に変化する場合に、サーフェスでサンプル ポイントを近似する。たとえば、工業地域に広がる公害。
• 長期間、または地球的なトレンドの効果の検証または除去。このような場合、この手法はしばしばトレンド サーフェス解析と呼ばれます。

トレンド内挿法は、物理プロセス（公害と風の方向など）を表す低次の多項式を使用して、徐々に変化するサーフェスを作成します。ただし、多項式が複雑になるほど、物理的な意味をその多項式に帰することが困難になります。さらに、計算するサーフェスは、特にエッジで外れ値（極端に高い値や低い値）の影響を大きく受けます。

トレンド内挿法の種類

トレンド内挿法には、「リニア」と「ロジスティック」という 2 つの基本タイプがあります。

リニア トレンド

リニア トレンド サーフェス内挿は浮動小数点のラスタを作成します。多項式回帰を使用して、最小二乗サーフェスを入力ポイントに適合させます。[リニア] オプションを選択した場合、サーフェスの適合で使用する多項式の次数を指定できます。トレンドの [リニア] オプションを理解するため、一次多項式のケースを考えてみましょう。一次リニア トレンド サーフェス内挿では、入力ポイント セットに最小二乗適合する面が求められます。

トレンドのサーフェス内挿法はスムーズなサーフェスを作成します。生成されたサーフェスは元のデータ ポイントをほとんど通過しません。これは、サーフェス全体のベスト フィットが求められるためです。二次以上の多項式を使用して内挿する場合、入力フィーチャ データの入力ファイルの最小と最大を上回るラスタが生成される可能性があります。

ロジスティック トレンド

トレンド サーフェス生成の [ロジスティック] オプションは、空間内の指定した位置（X,Y）セットについて、特定の現象の有無を確率として予測する場合に適しています。Z 値はカテゴリ化された確率変数であり、結果は 2 つだけです（たとえば、絶滅危惧種が生存している、またはその種が生存していないなど）。これら 2 つの Z 値を、それぞれ 1 と 0 としてコード化できます。[ロジスティック] オプションは、セル値に基づいて、1 ～ 0 までの連続した確率グリッドを作成します。

最初にモデルをリニア形式へ変換せずに、最尤法を使用して非線形確率サーフェス モデルを計算します。

出力 RMS ファイル

入力データセット内の位置の値と、内挿ラスタ サーフェスの同じ位置の値とを比較し、それによって得られた内挿の二乗平均平方根誤差が RMS エラー ファイルに保存されます。

この RMS 誤差が最小になるように次数値を変更することで、内挿の {order} パラメータで使用する最適値が決定されます。カイ二乗値も報告されます。

例

以下に、[Order] を 3 に設定して実行した [トレンド（Trend）] ツールによる出力 RMS ファイルの例を示します。

coef #          coef
------ ----------------
     0 -1192066.7888371
     1 -1.78479492586755
     2 -0.195982103615487
     3 -8.87072249743903e-1
     4 -2.0538267625596e-1
     5 -3.85610088343239e-1
     6 -1.46420255709888e-2
     7 -5.31539027745154e-2
     8 -2.59261094879031e-3
     9 9.71651459136166e-4
------ ----------------
RMS Error  = 296.957857221845
Chi-Square  = 17019506.0103975

この 3 次トレンドにおける出力ラスタ内の任意の位置の予測値は、一連の方程式から導き出される値を集計することで決定できます。次の方程式において、x = 位置の経度、y = 緯度、c_n 項は前述のテーブルからの係数値です。この 3 次内挿の方程式は次のとおりです。

Prediction(x,y) = c0 + 

                  x·c1 + y·c2 + 

                  x2·c3 + x·y·c4 + y2·c5 +

                  x3·c6 + x2·y·c7 + x·y2·c8 + y3·c9

基本的に、係数 0 は常に切片を表します。ここからは、1 次項で最高次の x から始めて x がなくなるまで反復します。次に、2 次項で x の次数が下がるまで再び反復します。3 次項についても同様です。

注意:

これらの方程式は次数が増えても同じパターンに従います。たとえば、4 次が指定された場合、RMS テーブル内に 5 つの値が追加で指定され（係数 10、11、12、および 13）、これらの値を使用した同数の方程式が増えます。