Fonctionnement de l'outil Tendance

L'outil Tendance utilise une interpolation polynomiale globale qui ajuste une surface lisse définie par une fonction mathématique (un polynôme) aux points d'échantillonnage en entrée. La surface de tendance évolue graduellement et capture des structures à échelle grossière dans les données.

Arrière-plan conceptuel

Théoriquement, l'interpolation de tendance revient à prendre une feuille de papier et à la faire passer entre des points placés en hauteur (à la hauteur de la valeur). Cette méthode est exemplifiée dans le diagramme ci-dessous représentant un ensemble de points d'échantillonnage d'altitude, relevés sur une colline légèrement inclinée. La feuille de papier est rouge magenta.

Illustration d'une surface de tendance plate

Une feuille de papier plate ne capturera pas un paysage contenant une vallée de manière exacte. Cependant, si vous la courbez une fois, vous obtenez un meilleur ajustement. L'ajout d'un terme à la formule mathématique produit un résultat similaire : une courbure dans le plan. Une surface plane (pas de courbure sur la feuille de papier) est un polynôme de premier degré (linéaire). Si vous la courbez une fois, vous obtiendrez un polynôme de deuxième degré (quadratique) et un polynôme de troisième degré (cubique), si vous la courbez deux fois, et ainsi de suite. Vous pouvez procéder à douze courbures maximum avec cet outil. L'image suivante présente, en théorie, un polynôme de deuxième degré ajusté à une vallée.

Illustration d'une surface de tendance courbée

Il y a très peu de chances que la feuille de papier passe à travers les points mesurés réels, ce qui rend l'interpolation de tendance inexacte. Certains points seront situés au-dessus de la feuille de papier, d'autres en dessous. Toutefois, si vous additionnez la proportion dans laquelle chaque point se situe au-dessus de la feuille de papier et en dessous de la feuille, les sommes devraient être similaires. La surface, en magenta, est obtenue à l'aide de l'ajustement régressif par moindres carrés. La surface obtenue minimise les différences au carré entre les valeurs élevées au carré et la feuille de papier.

Plus l'erreur quadratique moyenne (EQM) est basse, plus la surface interpolée représente les points en entrée avec exactitude. Les degrés polynomiaux les plus courants sont le premier, le deuxième et le troisième. L'interpolation de surface de tendance crée des surfaces lisses.

Cas dans lesquels utiliser l'interpolation de tendance

L'interpolation de tendance génère une surface lisse qui représente les tendances graduelles de la surface, sur la zone d'intérêt. Ce type d'interpolation peut être utilisé pour

• L'ajustement d'une surface aux points d'échantillonnage lorsque la surface varie graduellement de région en région, sur la zone d'intérêt, par exemple, la pollution d'une zone industrielle.
• L'analyse ou la suppression des effets des tendances à long terme ou globales. Dans de telles circonstances, la technique est souvent désignée sous le nom "d'analyse de surface de tendance".

L'interpolation de tendance crée une surface qui évolue graduellement, à l'aide de polynômes de premier degré qui décrivent un processus physique, par exemple, la pollution et la direction du vent. Cependant, plus le polynôme est complexe, plus il est difficile d'en interpréter les résultats physiques. De plus, les surfaces calculées sont extrêmement vulnérables aux points aberrants (valeurs extrêmement élevées ou extrêmement basses), en particulier sur les tronçons.

Types d'interpolation de tendance

Il existe deux principaux types d'interpolation de tendance : linéaire et logistique.

Tendance linéaire

L'interpolateur de surface de tendance LINEAIRE crée un raster à virgule flottante. Il utilise une régression polynomiale pour ajuster une surface par moindres carrés aux points en entrée. L'option LINEAIRE vous permet de contrôler l'ordre du polynôme utilisé pour ajuster la surface. Pour comprendre l'option LINEAIRE de la tendance, basez-vous sur un polynôme de premier ordre. Une interpolation de surface de tendance linéaire de premier ordre procède à l'ajustement des moindres carrés d'un plan avec l'ensemble des points en entrée.

L'interpolation de surface de tendance crée des surfaces lisses. La surface générée traversera rarement les points de données d'origine, puisqu'elle réalise un ajustement optimal pour l'intégralité de la surface. Si un polynôme {order} supérieur à un est utilisé, l'interpolateur peut générer un raster dont le minimum et le maximum dépassent le minimum et le maximum du fichier en entrée des données d'entité en entrée.

Tendance logistique

L'option LOGISTIQUE de génération d'une surface de tendance est appropriée à la prévision de la présence ou de l'absence de certains phénomènes (dans le formulaire de probabilité) pour un ensemble donné d'emplacements (x, y) dans l'espace. La valeur z est une variable aléatoire catégorisée avec uniquement deux résultats possibles. Par exemple, l'existence d'une espèce en danger ou le manque d'existence de cette espèce. Ces deux valeurs z peuvent être respectivement codées un et zéro. L'option LOGISTIQUE crée une grille de probabilité continue avec les valeurs de cellule comprises entre un et zéro.

Une estimation de la probabilité maximale permet de calculer le modèle de surface de probabilité non linéaire sans devoir d'abord convertir le modèle en formulaire linéaire.

Fichier EQM en sortie

Le fichier d'erreur QM spécifie l'erreur quadratique moyenne racine de l'interpolation en comparant la valeur des emplacements dans le jeu de données en entrée avec la valeur de ces mêmes emplacements dans la surface raster interpolée.

La valeur d'erreur QM permet de déterminer la meilleure valeur à utiliser pour le paramètre {order} de l'interpolation en modifiant la valeur d'ordre jusqu'à ce que vous obteniez l'erreur QM la plus basse. La valeur khi carré est également indiquée.

Exemple

Voici un exemple de fichier RMS en sortie après l'exécution de l'outil Tendance avec Ordre défini sur 3 :

coef #          coef
------ ----------------
     0 -1192066.7888371
     1 -1.78479492586755
     2 -0.195982103615487
     3 -8.87072249743903e-1
     4 -2.0538267625596e-1
     5 -3.85610088343239e-1
     6 -1.46420255709888e-2
     7 -5.31539027745154e-2
     8 -2.59261094879031e-3
     9 9.71651459136166e-4
------ ----------------
RMS Error  = 296.957857221845
Chi-Square  = 17019506.0103975

La valeur prévue à n'importe quel emplacement du raster en sortie pour cette tendance de troisième ordre peut être déterminée en récapitulant les valeurs provenant d'une série d'équations. Pour ces équations, x = la longitude de l'emplacement, y = la latitude et le terme c_n est la valeur du coefficient issue de la table précédente. Les équations pour cette interpolation de troisième ordre sont les suivantes :

Prediction(x,y) = c0 + 

                  x·c1 + y·c2 + 

                  x2·c3 + x·y·c4 + y2·c5 +

                  x3·c6 + x2·y·c7 + x·y2·c8 + y3·c9

Le coefficient 0 est toujours l'intersection. Ensuite, nous itérons les termes de premier ordre en commençant par la valeur x la plus élevée et en terminant sans x. Nous passons ensuite aux termes de deuxième ordre et itérons de nouveau les x vers le bas, comme pour les termes de troisième ordre.

Remarque :

Ces équations suivront un modèle similaire avec l'augmentation de l'ordre. Par exemple, si le quatrième ordre a été spécifié, cinq valeurs supplémentaires seront indiquées dans la table RMS (coefficients 10, 11, 12 et 13), ce qui entraînera un nombre supérieur d'équations les utilisant.