Acerca del ajuste por mínimos cuadrados de la estructura de parcela

Este tema se aplica a ArcGIS for Desktop Standard y ArcGIS for Desktop Advanced exclusivamente.

El ajuste por mínimos cuadrados de la estructura de parcela se ejecuta en una estructura de parcela para mejorar gradualmente la exactitud posicional de las esquinas de parcela. Mientras que las dimensiones de los límites de la parcela definen con precisión la forma de una parcela, y un ajuste por mínimos cuadrados con puntos de control topográficos define la ubicación espacial de una parcela.

Comprender un ajuste por mínimos cuadrados

Es posible utilizar una única observación (rumbo o distancia) de un punto existente para calcular las coordenadas de un nuevo punto. No obstante, es arriesgado confiar en una única observación, ya que no hay forma de saber si la medición es correcta o no. Con una segunda medición del mismo o de otro punto existente se confirmarán (o comprobarán) las coordenadas definidas por la primera medición. Por lo general, cuanto mayor sea el número de mediciones que se efectúen para arreglar las coordenadas de un punto, más precisas serán las mismas. A estas mediciones adicionales se les denomina mediciones redundantes.

Todas las mediciones contienen un cierto grado de error. Por tanto, cada medición calculará unas coordenadas ligeramente diferentes para el mismo punto topográfico. Debido a cuestiones prácticas, debe haber una ubicación de coordenadas en cada punto topográfico. Es posible obtener una única coordenada inmejorablemente estimada a partir del cálculo de un promedio ponderado de las mediciones adicionales o redundantes, cada una con el peso definido por la exactitud de la medición.

Calcular un promedio ponderado

Aunque la aproximación al promedio ponderado es útil para un único punto, es insuficiente a la hora de calcular las coordenadas de varios puntos de una red, como es el caso de la estructura de parcela. Se requiere un método más avanzado para establecer las posibles y numerosas rutas de medición entre los puntos. Las técnicas y algoritmos del ajuste por mínimos cuadrados proporcionan la solución más rigurosa y comúnmente aceptada para el procesamiento de una red de mediciones y puntos.

Varios puntos en una red

Un ajuste por mínimos cuadrados es un procedimiento matemático basado en la teoría de la probabilidad y con el que se obtiene la ubicación más probable, estadísticamente hablando, de las coordenadas de puntos definidas por varias mediciones en una red. Desde el punto de vista matemático, un ajuste por mínimos cuadrados determina una solución ideal para las mediciones ponderadas, mediante la búsqueda de un valor mínimo para la suma de los cuadrados de los valores residuales de la medición. Un valor residual de medición es la cantidad necesaria para corregir una medición, para que así pueda tener cabida en la solución ideal hallada por el ajuste por mínimos cuadrados.

Acerca del ajuste por mínimos cuadrados de la estructura de parcela

El ajuste por mínimos cuadrados de la estructura de parcela se ejecuta en una estructura de parcela para mejorar gradualmente la exactitud posicional de las esquinas de parcela. Mientras que las dimensiones de los límites de la parcela definen con precisión la forma de una parcela, y un ajuste por mínimos cuadrados con puntos de control topográficos define la ubicación espacial de una parcela.

El motor del ajuste por mínimos cuadrados de la estructura de parcela utiliza dimensiones de las líneas de parcela junto con puntos de control para estimar la ubicación más probable, según las estadísticas, de las coordenadas para cada punto de parcela de la red. Esta descripción de ajuste por mínimos cuadrados puede entenderse más fácilmente si tomamos en cuenta una ruta de trazado poligonal entre dos puntos de control en la red de estructura. Los puntos de estructura P1 y P5 deben coincidir con sus puntos de control correspondientes CP1 y CP2. El ajuste por mínimos cuadrados ajusta el error por cierre inadecuado entre P1 y CP1, así como entre P5 y CP2 a través de los puntos restantes P2, P3 y P4, de tal modo que P1 y P5 coincidan con sus puntos de control. Las coordenadas de P2, P3 y P4 se ajustarán siguiendo la solución ideal y las líneas serán de nuevo calculadas a partir de los puntos ajustados. En la estructura de parcela, la exactitud en las líneas de parcela actúa como un sistema ponderado en el ajuste por mínimos cuadrados. Las líneas de mayor altura se ajustarán en menor medida que las de menor altura. Cuanto mayor sea la exactitud, mayor será el peso de una línea de parcela. En el siguiente gráfico, la línea entre P2 y P3 posee una gran exactitud y, por tanto, un peso también alto. En el ajuste por mínimos cuadrados, la línea P2-P3 recibió un ajuste en menor escala en comparación a otras líneas de la ruta de trazado poligonal.

Ajuste por mínimos cuadrados con control

Las diferencias en los valores residuales entre las líneas originales y las líneas calculadas a partir de las coordenadas ajustadas desvelan la manera en la que las líneas de parcela encajan las unas con las otras, así como con los puntos de control. Un valor residual de gran tamaño supone un problema con la propia línea de parcela o con las líneas de parcela cercanas, ya que el valor original requirió un cambio significativo para adaptarse a la solución ideal.

El proceso de ajuste por mínimos cuadrados en estructuras de parcela

En el primer paso del ajuste por mínimos cuadrados de la estructura, se determinan los parámetros de transformación entre las coordenadas de los puntos de control y las coordenadas correspondientes de sus puntos de parcela subyacentes. Si los residuales de transformación se encuentran dentro de los límites aceptables (las diferencias entre los dos sistemas de coordenadas), los parámetros de transformación se aplican a todas las coordenadas de la estructura de parcela para transformarlas en las coordenadas del sistema de control. Ejecutar una comprobación de ajuste de los puntos de control muestra estos residuales de transformaciones.

Después de la transformación, el rumbo y distancia de cada línea de parcela se comparan con la misma orientación y distancia de las formas de la línea que se calculan en el sistema de coordenadas transformado (el sistema de coordenadas de los puntos de control). Esto se realiza al calcular la diferencia entre la orientación y la distancia calculada desde las coordenadas transformadas y la orientación y la distancia originales. Toda línea de parcela con una diferencia de orientación y distancia que supera las tolerancias especificadas en el cuadro de diálogo Ajustar coordenadas se informa en el informe de ajuste por mínimos cuadrados. Después de que las coordenadas de la estructura de parcela se han transformado en coordenadas del sistema de control, el motor de ajuste calcula los promedios (calcula un valor medio) de las coordenadas y determina la solución más óptima y que mejor se ajusta a todos los puntos de la red. El ajuste es un ajuste por mínimos cuadrados ponderado, donde las parcelas con un nivel de precisión más alto (peso más alto) se ajustan menos que aquellas parcelas con un nivel de precisión más bajo (peso más bajo).

Nota:

El proceso de ajuste por mínimos cuadrados determina una ubicación y una representación más precisas de la geometría de línea para cada línea de parcela. Las dimensiones de la línea de parcela original (atributos) no se alteran. La representación espacial y geométrica (la forma de la línea de parcela) de las dimensiones se actualiza a partir de las coordenadas recientemente ajustadas.

Redundancia

Un ajuste por mínimos cuadrados produce resultados más confiables cuando existen mediciones redundantes en una red. La redundancia implica que hay observaciones que se repiten para una única medición. Las observaciones repetitivas validan la red de medición. Una estructura de parcela es una red de medición redundante.

En el gráfico debajo, una única parcela tiene cuatro líneas y cuatro puntos. El punto de esquina 2 está definido por dos líneas (mediciones).

Una única parcela

En la estructura de parcela, el punto de esquina 2 de la misma parcela ahora está definido por ocho líneas (mediciones).

Redundancia en la estructura de parcela

Con las ocho líneas redundantes que definen el mismo punto 2, ahora es más fácil identificar una línea que define una coordenada para el punto 2 que sea significativamente diferente a las coordenadas definidas por las otras líneas. Por lo tanto, mientras hayan más líneas que definan la misma coordenada de puntos, más confiable será la detección de valores atípicos o líneas inconsistentes. El ajuste por mínimos cuadrados utiliza la redundancia para identificar aquellas líneas que no se ajustan a la solución de mejor ajuste. La redundancia en la estructura de parcela se crea mediante puntos comunes y conectividad.

Manejo de la base de rumbo

En la estructura de parcela, se asume que las orientaciones para las líneas de cada parcela están en un ángulo acimutal para esa parcela. Además, es posible que se deba rotar y escalar cada parcela por separado para ajustarse al datum y a la proyección utilizada en la estructura de parcela. Si los ángulos interiores se utilizan para la entrada de trazado poligonal de una parcela, se almacenan los ángulos y se calculan las orientaciones para las líneas que se basan en un ángulo acimutal. Se requieren orientaciones debido a que el ajuste utiliza ecuaciones de orientación, no ecuaciones de ángulos, para las líneas de parcela.

Cuando una parcela se une a una estructura, las dimensiones originales se utilizan primero para calcular las coordenadas de las esquinas de parcelas en un sistema de coordenadas local. El primer punto en la parcela son las coordenadas dadas de 0,0 al este y 0,0 al norte, y las dimensiones se utilizan para calcular todos los puntos posteriores. Un ajuste de Bowditch se utiliza para distribuir la mala convergencia antes de calcular las coordenadas locales.

Durante el proceso de unión, los puntos de esquina de la parcela no vinculada coinciden con sus puntos correspondientes en la estructura. Se calculan los parámetros de transformación entre las coordenadas de la parcela y el sistema de coordenadas de la estructura. Se utiliza una transformación de Helmert (rotación, escala, cambio en x y cambio en y). Si se utilizan más de dos puntos en la unión, se utiliza un procedimiento de ajuste por mínimos cuadrados para determinar los parámetros. A medida que se unen los puntos, se transforman en la red de la estructura y las diferencias o los residuales de transformación se muestran como dx (cambio en x) y dy (cambio en y) en el cuadro de diálogo de unión. Estos residuales son una buena señal de que las parcelas que se unen se ajustan correctamente a la estructura de parcela circundante.

Después de unir una parcela, la rotación y el factor de escala (desde la transformación) se almacenan con la parcela y el ajuste por mínimos cuadrados los utiliza al configurar las ecuaciones de la orientación. En el ajuste por mínimos cuadrados, las orientaciones de parcela se tratan como un "conjunto de dirección" geodésico. Se asume que los ángulos entre cada línea de parcela son correctos, pero que todo el grupo de líneas se podría rotar levemente (base del rumbo). Por lo tanto, el ajuste por mínimos cuadrados soluciona las correcciones para x,y para cada punto y para una corrección de rotación o "elemento de orientación" para cada parcela.

El ajuste indica una rotación, un factor de escala, dx (cambio en x) y dy (cambio en y) para cada parcela ajustada. Dentro de un plano de subdivisión, la rotación y el factor de escala deberían ser bastante similares para cada parcela, y dx y dy indican un cambio en la forma de la parcela. Si se vuelve a ejecutar el ajuste, se calculará nuevamente la rotación y la escala para cada parcela.